一、选择题(<strong><span>本大题有10个小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)</span></strong>
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1.
计算
的结果是( )
A . -9
B . 9
C .
D .
-
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3.
小丽在化简分式
时,*部分不小心滴上了墨水,请你推测,*部分的式子应该是( )
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4.
如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式是最简分式,那么我们称这个分式为“和谐分式”.下列分式中,是“和谐分式”的是( )(填序号即可).
A . ①
B . ②
C . ③
D . ④
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5.
给出下列4个命题:①相等的角是对顶角;②垂直于同一直线的两条直线平行;③两个锐角的和是钝角;④平行于同一直线的两条直线平行,其中真命题的个数是( )
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
-
6.
如图,若x为正整数,则表示分式
的值落在( )
A . 线①处
B . 线②处
C . 线③处
D . 线④处
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7.
阅读,正如一束阳光.孩子们无论在哪儿,都可以感受到阳光的照耀,都可以通过阅读触及更广阔的世界.某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发,参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍,乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是x米/分,则下列方程正确的是( )
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9.
如图,在△
ABC中,
AC的垂直平分线交
BC于点
D , 交
AC于点
E , ∠
B=∠
ADB . 若
AB=4,则
DC的长是 ( ).
A . 2
B . 3
C . 4
D . 不能确定
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10.
如图,△
ABC中,
D点在
BC上,且
BD的中垂线与
AB相交于
E点,
CD的中垂线与
AC相交于
F点,已知△
ABC的三个内角皆不相等,根据图中标示的角,判断下列叙述何者正确( )
A . ∠1=∠3,∠2=∠4
B . ∠1=∠3,∠2≠∠4
C . ∠1≠∠3,∠2=∠4
D . ∠1≠∠3,∠2≠∠4
二、填空题(<strong><span>本大题有</span></strong><strong><span>8</span></strong><strong><span>个小题,每小题3分,共</span></strong><strong><span>24</span></strong><strong><span>分</span></strong><strong><span>)</span></strong>
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-
12.
观察下列分式,探究其规律:
, 按照上述规律,第n个分式是
.
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-
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15.
清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,
AD是锐角△
ABC的高,则
BD(
BC).当
AB=7,
BC=6,
AC=5时,
CD=
.
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16.
(2023·通辽)
如图,等边三角形
的边长为
, 动点P从点A出发以
的速度沿
向点B匀速运动,过点P作
, 交边
于点Q,以
为边作等边三角形
, 使点A,D在
异侧,当点D落在
边上时,点P需移动
s.
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17.
如图,在Rt△
ABC中,∠
BAC=90°,
AB=
AC , 点
D为
BC上一点,连接
AD . 过点
B作
BE⊥
AD于点
E , 过点
C作
CF⊥
AD交
AD的延长线于点
F . 若
BE=4,
CF=1,则
EF的长度为
.
-
18.
如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点,AD=6,点F是线段AD上的动点,则BF+EF的最小值为
.
三、解答题
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19.
计算:
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(1)
;
-
(2)
.
-
20.
先化简,再求值:(
1)
, 其中
x=3.
-
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22.
某商店以固定进价一次性购进一种商品,3月份按一定售价销售,销售额为2400元,为扩大销量,减少库存,4月份在3月份售价基础上打9折销售,结果销售量增加30件,销售额增加1056元.求该商店3月份这种商品的售价是多少元?
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23.
如图,在△
ABC中,
AB=
AC , 点
D、
E都在边
BC上,且
BE=
CD , 求证:
AD=
AE .
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24.
综合与实践:
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(1)
问题探究:如图1是古希腊数学家欧几里得所着的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角,”即:作一个已知角的平分线,如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法:在OA和OB上分别取点C和D , 使得OC=OD , 连接CD , 以CD为边作等边三角形CDE , 则OE就是∠AOB的平分线.请写出OE平分∠AOB的依据:;
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(2)
类比迁移:小明根据以上信息研究发现:△CDE不一定必须是等边三角形,只需CE=DE即可,他查阅资料;我国古代已经用角尺平分任意角,做法如下:如图3,在∠AOB的边OA , OB上分别取OM=ON , 移动角尺,使角尺两边相同刻度分别与点M , N重合,则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线,请说明此做法的理由;
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25.
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(1)
方法呈现:
如图①:在△ABC中,若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE , 可证△ACD≌△EBD , 从而把AB、AC , 2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是,这种解决问题的方法我们称为倍长中线法;
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(2)
探究应用:如图②,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥DF于点D , DE交AB于点E , DF交AC于点F , 连接EF , 判断BE+CF与EF的大小关系并证明;
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(3)
问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD , AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点,若AE是∠BAF的角平分线.试探究线段AB , AF , CF之间的数量关系,并加以证明.